Loading...

Математик Ричард Шварц: «Мне нравятся простые и дерзкие, острые утверждения»
Center for Mindfulness & Compassion

Профессор Брауновского университета Ричард Шварц — один из приглашенных докладчиков на International Congress of Mathematicians (ICM2022) — крупнейшем съезде математиков, который впервые за более чем полвека пройдет в России. На конгрессе ученый выступит с обзорной лекцией о математическом бильярде. Профессор Джилл Пайфер поговорила с Ричардом о его пути к профессии, математических неудачах, Ханойских башнях, зеркалах в искривленном пространстве, кубике Рубика, проектах со студентами и предстоящем ICM.

— Добрый день! Меня зовут Джилл Пайфер, я профессор математики и вице-президент по науке Брауновского университета. Сегодня в стенах Института вычислительных и экспериментальных исследований в области математики я побеседую со своим коллегой Ричардом Шварцем. Ричард, как почетный профессор математики, приглашен выступить в качестве докладчика на Международном конгрессе математиков, который пройдет в июле в Санкт-Петербурге. Ричард, я бы хотела начать нашу беседу с вопроса, который, как мне кажется, волнует многих. Как вы открыли для себя математику? Расскажите о своем пути в эту науку.

— Все началось, когда я учился в старшей школе. Мне всегда нравилась математика: еще будучи ребенком, я любил размышлять над различными задачами. Но были и другие увлечения. В детстве, примерно с восьми до двенадцати лет, я почти все свободное время играл в большой теннис. Тогда я даже мечтал стать профессиональным теннисистом, но со временем понял, что этому не суждено произойти. Затем последовал период увлечения компьютерными играми. Но со временем меня все больше стали интересовать различные математические задачи. Я помню, как в пятнадцать лет мне подарили кубик Рубика, и я сумел собрать его, не прибегая к инструкции. Это воодушевило меня, и я решил, что, наверное, смогу самостоятельно решать и другие подобные задачи.

К моменту поступления в университет я уже понимал, что хочу стать ученым. Сначала я склонялся к физике или химии, или к направлениям на стыке физики, химии и математики, но довольно быстро понял, что лучше всего мне дается математика. На мой выбор также, вероятно, повлияли замечательные преподаватели, с которыми я познакомился в университете.

— То есть уже на первых курсах университета вы знали, что потом пойдете в аспирантуру?

— С этим я определился после первого года обучения. Именно тогда физика и химия отошли на второй план, и я понял, что хочу заниматься исследованиями в математике. Мне очень нравился тот образ жизни, который вели мои преподаватели, — решение интересных задач и их обсуждение со студентами, такими как я и мои друзья. Я считал такую жизнь замечательной.

— Как вы выбрали конкретное направление исследований? Вы сказали, что особое впечатление на вас произвел кубик Рубика…

— Уже в первые годы обучения в университете я много времени уделял исследованиям. Первой задачей, над которой я долго размышлял, была задача о Ханойских башнях. Представьте себе, что есть стержни и кольца и нужно перенести все кольца с одного стержня на другой, соблюдая при этом только одно правило: нельзя ставить большее кольцо на меньшее. На тот момент задача нахождения оптимального алгоритма для четырех стержней оставалась нерешенной, и я потратил около шести или восьми месяцев, рассуждая над ней. В целом, многие разделы математики мне интересны: теория графов, комбинаторика, математический анализ и многие другие. Сейчас я в основном решаю задачи, связанные с динамическими системами и геометрией, но при этом мне всегда нравилась любая математика.

Иллюстрация к задаче о Ханойской башне с четырьмя дисками. Источник: André Karwath / Wikimedia Commons

— Какие сейчас ваши любимые направления исследований?

— Одни из моих любимых задач — те, в которых дан некоторый простой процесс, повторяющийся снова и снова, а твоя цель — понять долгосрочные последствия. Хороший пример задач такого типа — это задачи о бильярдных шарах. Например, предположим, что перед нами стоит треугольный бильярдный стол и на него мы запускаем шар, который отскакивает от бортов. Интересно понять, может ли случиться так, что после множества отскоков шар вернется в исходное положение и его траектория окажется замкнутой. На сегодняшний день неизвестно, для любого ли треугольного бильярдного поля существует такая периодическая траектория. Мне нравится эта задача, поскольку ее легко может понять даже школьник.

Я также работал и над более серьезными задачами, например над гипотезой Голдмана — Паркера. Немного расскажу о ней. Есть три зеркала в искривленном четырехмерном пространстве, так называемом комплексном гиперболическом пространстве, и исследуются отражения света в этих зеркалах. При определенных вариантах взаимного расположения зеркал в них появляются красивые повторяющиеся структуры, в других случаях — отражается совершенно неопределенная картина. Гипотеза описывает местоположения зеркал, которые дают повторяющиеся закономерности. Это одна из тех задач, которые мне удалось решить. Задачи такого рода, описывающие простые явления, которые создают совершенно нетривиальные феномены при многократном повторении, меня вдохновляют больше всего.

— Расскажите немного о своих экспериментах с компьютерными технологиями. Они широко известны в математическом сообществе.

— Мне нравится создавать графические интерфейсы, а затем использовать их для обнаружения теорем. Когда мне было семь лет, папа моего одноклассника создал электронную модель вулкана, в которой с помощью кнопок можно было что-то менять, например подсвечивать лаву или магму. Я был абсолютно восхищен этим устройством и теперь всю жизнь стремлюсь достичь чего-то подобного. Поэтому я создаю графические интерфейсы, в которых можно нажимать на разные кнопки и наблюдать те или иные математические явления. Мне нравятся задачи, которые можно исследовать таким способом. В наиболее удачных случаях эта обратная связь продолжается по циклу и в итоге позволяет дойти до истинной сути задачи. Впрочем, не менее часто случается, что вся эта процедура оказывается лишь пустой тратой времени. Но задачи, которые можно исследовать вычислительно, мне крайне интересны. Кроме того, я люблю двумерные задачи, поскольку экран компьютера также двумерен и на нем можно изобразить задачу во всей ее полноте. Впрочем, я иногда занимаюсь и многомерными задачами, но хорошая визуализация — это то, что действительно делает меня счастливым.

— Известно, что вы много работаете не только с аспирантами, но и со студентами младших курсов. Нравится ли вам работать в группе, или вы предпочитаете проводить исследования в одиночку? Зависит ли это от задачи?

— Мне нравится и то, и другое. Когда я наиболее сосредоточен, я предпочитаю работать один. Около 70% времени я работаю один, а оставшиеся 30% — с другими людьми. Сотрудничество замечательно тем, что оно выводит тебя из зоны комфорта, а также позволяет работать в областях, в которых ты не являешься экспертом. В течение прошлого года я занимался решением задачи об укорачивающем потоке со своим бывшим студентом, который теперь учится в Принстоне. В этой задаче берут некую кривую на плоскости (мы рассматривали восьмерку) и сдвигают ее в направлении кривизны тем сильнее, чем больше кривизна в каждой отдельной точке. Оказывается, у разных кривых поведение при этом будет отличаться: если взять кривую вроде эллипса, то она будет все больше и больше приближаться к окружности, но, если рассматривать кривую в виде восьмерки, получится длинная и тонкая фигура. Мы исследовали подобную задачу для кривой, которая заключена в квадрат, и показали, что при некоторых условиях «восьмерка» переходит в «галстук», хотя это весьма неестественно для обычного ее поведения. Мы начали заниматься этим проектом, когда мой студент был еще в бакалавриате. Я поставил ему эту задачу, считая, что он сможет разобраться с ней самостоятельно, но в результате он меня сильно ею увлек.

Каждое лето я делаю в среднем от двух до четырех совместных проектов со студентами. Особенно хорошо проектная деятельность складывается в эпоху коронавируса: обычно большинство студентов на лето уезжает и занимается чем-то другим, а так, из-за того что многие программы закрылись, ко мне обращается гораздо больше людей. Прошлым летом мы со студентами работали над проектами по графам-экспандерам, действиям групп на деревьях Серра, квантовым рациональным числам и еще над одним. Это четыре проекта из совершенно разных областей. В Брауновском университете прекрасные бакалавры, и мне с ними очень интересно сотрудничать, потому что это дает возможность попробовать себя в новых направлениях. У меня есть соавторы и помимо студентов, например Сергей Табачников, с которым мы написали несколько совместных статей. У него всегда очень много вопросов и задач. Если у меня вдруг заканчиваются задачи, но хочется над чем-нибудь поработать, то после разговора с Сергеем я обнаруживаю себя с пятью новыми задачами.

— Как вы выбираете задачи? Или, может, они выбирают вас?

— На самом деле, я не знаю. Мне нравятся простые и дерзкие, острые утверждения. Обычно те задачи, которые меня больше всего восхищают, мне решить не удается. Простые и доступные задачи меня также вдохновляют, потому что причина, по которой они до сих пор не решены, как мне кажется, кроется в том, что в их основе лежат какие-то глубокие соображения. Думаю, что использование компьютера мне часто позволяет не полагаться на уже существующие рассуждения, а найти свой собственный путь решения. Иногда бывает, что если провести какие-то вычисления, которые никто раньше не делал, то случайно удается увидеть причину проблемы. Время от времени это, конечно, работает, но в большинстве случаев, к сожалению, нет.

— Давайте поговорим об успехах и неудачах в математике. Студенты, которые только начинают заниматься наукой, часто задаются вопросом: «Насколько часто мои решения должны быть успешными?» Как вы сами справляетесь с неудачами при решении задач?

— К этому привыкаешь. Интересно, что существует яркий контраст: студенты при обучении часто очень успешны и привыкают к постоянным отличным оценкам. А тут, когда они начинают заниматься исследованиями в математике, оказывается, что это чрезвычайно тяжело и что почти ничего не известно. Можно было бы подумать, что большая часть задач уже решена, но оказывается, что многие вопросы в математике до сих пор не имеют полных ответов. Так что неудачи — обязательная часть процесса. Если математик слишком часто находит решение, это может означать, что он берется за слишком простые для себя задачи и создает для себя слишком легкие испытания. Конечно, если неудачи происходят в 100% случаев, то это знак, что задачи, напротив, слишком сложны. Я считаю, что оптимальное соотношение — одна успешная идея из трех. С самого начала научного пути важно привыкнуть к мысли, что не всякая идея сработает. С другой стороны, даже неудача часто не будет бесполезной тратой времени, потому что ты в любом случае разрабатываешь инструменты решения, которые хоть и не работают для текущей задачи, но могут быть полезными для какой-нибудь другой. Думаю, у каждого математика был подобный опыт.

— Есть ли какая-нибудь большая задача или гипотеза, которую вы бы очень хотели решить? Может, задача, к которой вы время от времени возвращаетесь?

— Одна из задач, над которыми я много работал в последние годы, — это предложенная еще в 1911 году гипотеза Теплица о вписанном квадрате. Представьте себе непрерывную замкнутую кривую на плоскости, например границу озера. Тогда гипотеза состоит в том, что на этой кривой всегда найдутся четыре вершины, образующие квадрат. Задача звучит элементарно, и уже давно известно, что эта гипотеза верна для любой кривой, подобной многоугольнику или сглаженной кривой. В то же время для фрактальных кривых на плоскости она так и не решена. Я написал несколько компьютерных программ для исследования этой задачи, достиг некоторых успехов в решении ряда связанных с ней задач, но так ничего и не смог сделать с исходной.

Еще мне очень нравится гипотеза о муравье Лэнгтона. Она заключается в том, что на бесконечной черно-белой доске движется муравей. Если он оказывается в черном квадрате, то поворачивает налево, а если в белом — направо. Кроме того, проходя по клетке, муравей меняет ее цвет. Если посадить насекомое на полностью белую доску, то сначала его движение создаст на поле большое странное черно-белое пятно, но где-то после десяти тысяч шагов муравей начнет двигаться по некоторой повторяющейся закономерной траектории в направлении «вверх и влево». Суть гипотезы состоит в том, что если в начальный момент времени на доске конечное количество черных клеток и расположение муравья произвольно, то начиная с какого-то момента он обязательно придет к определенной повторяющейся закономерности. Так, будто у этого муравья есть какая-то заданная цель. Еще один необычный элемент этой задачи связан с обратимостью времени: если муравей будет ходить назад, то правила не изменятся. Можно создать ситуации, в которых он какую-то область из хаотичного набора белых и черных клеток превращает в абсолютно белую. В некотором смысле у муравья не может быть цели, но он все же всегда приходит к какому-то одному и тому же состоянию. У меня нет надежды на решение этой задачи, но я, несомненно, потратил много времени, размышляя над ней.

Гипотеза о муравье Лэнгтона. Источник: FrankBuss / Wikimedia Commons

— Вы проводили компьютерные исследования этой задачи?

— Для нее уже есть большое количество компьютерных исследований. Эта задача кажется биологической. Она напоминает своего рода клеточный автомат, и кажется, будто в ней разрастается что-то, похожее на опухоль, которая запускает повторяющееся поведение. Эта задача также напоминает мне игру «Жизнь» Конвея, которая была мне очень интересна в старшей школе.

— Давайте вернемся к вашей работе со студентами. Что вы можете сказать о преподавании, занятии наукой и роли научного руководителя? Вы говорили, что это может стать источником новых задач и подходов, но...

—... но что это дает самим студентам?

— Да.

— Думаю, весьма важно оставлять людям свободу и возможность мыслить. В начале научного пути у студентов еще нет контекста. Они не очень понимают, что им интересно, какие подходы принесут плоды. Поэтому одна из основных задач преподавателя — предоставить студенту контекст, например, сказав: «Вот интересная задача, почему бы вам над ней не подумать?» Также весьма важна поддержка, поскольку заниматься наукой изолированно, в своеобразном вакууме, невозможно. Мне нравится задавать студентам простые вопросы, потому что очень важно найти первый вопрос, на который не знаешь ответа, и тогда просто отталкиваться в дальнейших исследованиях от него.

— В преддверии Международного конгресса математиков в 2022 году интересно узнать, что вас больше всего привлекает в возможности принять в нем участие.

— Есть две причины. Во-первых, я очень рад возможности сделать доклад. Думаю, это будет здорово! Я планирую рассказать о задачах с бильярдом. На самом деле, я довольно мало знаю о бильярдах, несмотря на то что много работал с ними, но, к счастью, у меня много друзей. Летом я взял несколько интервью у экспертов в этой области и многое узнал в процессе подготовки к Конгрессу. При этом не только для самого доклада, но и для статьи, которую необходимо заранее написать. Сначала все это казалось невозможной задачей, но теперь я очень рад, что смогу представить такой доклад. Вторая причина — социальная. В Конгрессе примет участие большое количество моих друзей. Возможность встретиться в Санкт-Петербурге с математиками, с которыми я познакомился в течение всей своей карьеры, меня очень радует. Кроме того, я слышал, что этот город просто прекрасен летом.

— Спасибо, Ричард! Я уверена, что это будет прекрасный доклад. Я очень рада нашей сегодняшней беседе!

— Спасибо, Джилл, было здорово!