11 ноября 2002 года была опубликована статья Григория Перельмана, в которой приводилось доказательство гипотезы Пуанкаре.

«Это был беспрецедентный случай. Медали Филдса, столь же престижной в математике, как и Нобелевская премия в других областях науки, удостоено эпохальное достижение — работа, в которой приводится доказательство гипотезы Пуанкаре», — этими словами начинается фильм «Чары гипотезы Пуанкаре», посвященный гипотезе и человеку, ее доказавшему.

Гипотеза была сформулирована французским математиком и физиком Анри Пуанкаре в 1904 году. Она является одной из задач, с которыми работает топология, — раздел математики, в развитии которого основопологающую роль сыграл Пуанкаре. Топология в широком смысле рассматривает явление непрерывности и его свойства. В топологии любые объекты изучаются с точностью до непрерывных деформаций без разрывов. Если рассматривать трехмерное пространство, то любой объект без отверстий (например, лист) топологически эквивалентен сфере, любой объект с одним отверстием (например, кружка) — тору, следующие — тору с двумя отверстиями и так далее. Также важным понятием является ориентируемость. В простейшем случае поверхности это свойство означает невозможность попадания с одной ее стороны на другую при гладком движении вдоль нее. В частности, если свернуть лист бумаги в трубочку, то получает ориентируемая поверхность, а лист Мебиуса является неориентируемой. Аналогично в в случае замкнутых поверхностей: сфера — ориентируема, бутылка Клейна — нет.

Гипотеза звучит так: всякое односвязное компактное трехмерное многообразие без края гомеоморфно трехмерной сфере. Односвязное, то есть такое, любую замкнутую линию в котором можно стянуть в одну точку (условно — сфера, а не тор, так как на торе это помешает сделать «дырка»). Компактность в топологии является обобщением свойства ограниченности и замкнутости в евклидовых пространствах. В простейшем одномерном случае компактным является, например, отрезок, так как при любом растяжении он останется ограничен некоторыми точками. А вот открытый интервал на прямой можно растянуть до бесконечной прямой, то есть он некомпактен. Трехмерное многообразие без края — это такой геометрический объект, в котором каждая точка имеет открытую окрестность в виде трехмерного шара. Примером его может служить «внутренность» тора, полноторие. Однако если добавить к нему поверхность, сам тор, то у граничных точек не будет окружения со всех сторон, а значит такой объект будет многообразием с краем. Гомеоморфизм устанавливает соответствие между объектами одного класса (условно «сфера» или «тор»). Трехмерная сфера — это поверхность четырехмерного шара. Представить его людям, живущим в трехмерном пространстве, конечно, нелегко.

Чтобы понять гипотезу Пуанкаре, математики предлагают провести мысленный эксперимент, например такой: «Возьмем ракету и привяжем к ней очень длинную веревку и запустим ракету в космос. Ракета с привязанной к хвосту веревкой облетает всю Вселенную и благополучно возвращается на Землю. И теперь у вас в руках оба конца веревки, которую протащили через всю Вселенную. Получилась гигантская петля. Теперь можно вытянуть всю веревку, стягивая петлю. Когда мы вытянем ее всю, что мы сможем сказать о форме Вселенной? Если вы протащите веревку через всю Вселенную и в любом случае сможете стянуть ее до конца, разве вы не признаете, что Вселенная в принципе имеет форму шара?» Таким образом мы бы доказали, что Вселенная представляет собой односвязное многообразие, то есть ее можно стянуть в точку, а, следовательно, и ее появление даже из бесконечно малого «зародыша» не противоречит топологии. Однако если это не удастся, то получается, что Вселенная обладает более сложной топологией, как минимум не проще, чем у тора. Так доказательство гипотезы приобретает мировоззренческое значение.

Человек не может взглянуть на Вселенную со стороны, однако Пуанкаре предположил, что можно математически доказать принадлежность формы Вселенной к тому или иному классу, что и предполагает гипотеза. Первые два доказательства — самого Пуанкаре и человека, обратившего внимание математиков на гипотезу, Джона Уайтхеда, — быстро были опровергнуты самими авторами. Однако интерес к гипотезе нарастал: доказать ее пытались лучшие умы, но безуспешно. Иногда, как в случае математика греческого происхождения Христоса Папакириакопулоса, стремление найти доказательство приобретало характер одержимости, но не приводило к значительным подвижкам. Другому математику, американцу Стивену Смейлу, удалось доказать гипотезу, но только для пространства с большим, чем четыре, числом измерений. Еще один американец, Майкл Фридман, доказал гипотезу для четырехмерного пространства, за что получил медаль Филдса. Однако использовать эти достижения для трехмерного пространства было невозможно.

Найти доказательство гипотезы удалось лишь через 98 лет после ее создания российскому математику Григорию Перельману. Он опубликовал в электронном архиве научных статей и препринтов три статьи, по сути, содержащие это доказательство. По сути — потому что обоснованные в них положения не являются доказательством гипотезы Пуанкаре, но снимают основные проблемы, стоявшие перед математиками. Перельман сделал основную часть работы, оставив приведение доказательства к законченному виду своим коллегам. На это ушло несколько лет: задача осложнялась тем, что в работе использовались не привычные топологам методы, а принципы и понятия дифференциальной геометрии и физики.

Так как заявления о том, что доказательство найдено, звучали уже не раз, неудивительно, что поначалу и к статьям Перельмана отнеслись скептически. Его приглашали в Принстон и другие ведущие университеты с циклом лекций, раскрывающих смысл доказательства. И лишь в 2006 году было вынесено решение — доказательство Перельмана верно, а гипотезу Пуанкаре следуют считать доказанной. За это Перельману присудили премию Филдса, однако принять ее он отказался.