Детство будущего математика прошло в окружении выдающихся людей. Среди родственников и друзей семьи были и ученые, и люди искусства: физиолог Иван Сеченов, братья математик Александр, композитор Сергей и лингвист Борис Ляпуновы; отчим Алексея — Сергей Наметкин — был известным химиком, а отец изучал точные науки в Москве и Гейдельберге.

Алексей Ляпунов пошел по стопам отца — поступил на физико-математический факультет Московского университета. Не закончив обучение, он стал сотрудником нескольких математических институтов, а также учеником Николая Лузина — математика, основателя и руководителя московской математической школы «Лузитании». Из нее вышли такие математики, как Павел Александров, Михаил Суслин, Александр Хинчин, Андрей Колмогоров, Нина Бари и Виктор Немыцкий, Людмила Келдыш и другие. Под руководством Лузина Ляпунов экстерном сдал экзамены за университетский курс и защитил кандидатскую диссертацию.

К основным направлениям его работы относятся теория множеств, математические основы программирования, теория алгоритмов, математическая лингвистика и машинный перевод, философские и методологические вопросы развития науки.

В начале 1950-х годов Ляпунов заинтересовался первыми электронными вычислительными машинами, принципами составления алгоритмов, прочел первый спецкурс по программированию. К тому периоду относится и начало его исследований в области кибернетики — «нового научного направления, возникшего в последние годы и представляющего собой совокупность теорий, гипотез и точек зрения, относящихся к общим вопросам управления и связи в автоматических машинах и живых организмах», по определению Ляпунова.

Несмотря на одобренное «сверху» развитие вычислительной техники в СССР в конце 1940-х годов, в первой половине 1950-х кибернетика подвергалась нападкам со стороны властей. Чего стоят одни газетные заголовки: «Кибернетика — «наука» мракобесов», «Наука современных рабовладельцев», «Кибернетика или тоска по механическим солдатам». А в «Философский словарь», вышедший в 1954 году, кибернетика попала с определением «реакционная лженаука». Критиковалась она и за то, что «отрицает качественное своеобразие закономерностей различных форм существования и развития материи», «рассматривает психофизиологические и социальные явления по аналогии... с электронными машинами и приборами» и «ярко выражает одну из основных черт буржуазного мировоззрения — его бесчеловечность, стремление превратить трудящихся в придаток машины, в орудие производства и орудие войны».

Ляпунов стал одним из первопроходцев, проводивших исследования в области кибернетики после снятия запрета. В 1955 году он выступил в качестве соавтора первой в СССР публикации по теоретической кибернетике — вышедшей в «Вопросах философии» статьи «Основные черты кибернетики». Ляпунов внес значительный вклад в организационную работу, необходимую для становления новой научной дисциплины. Он участвовал в разработке основных положений, терминов, классификации методов кибернетики, привлекал к изучению этой области ученых смежных специальностей, организовывал семинары и конференции.